ON SOME KINEMATIC AND ENERGY RELATIONS FOR WAVES PROPAGATING IN ELASTIC SYSTEMS

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Regularities inherent in waves propagating in structural elements modeled as one-dimensional and two-dimensional elastic systems are revealed. Local laws of energy and wave momentum transfer in the case when the Lagrangian of a two-dimensional elastic system depends on generalized coordinates, their derivatives up to the second order on spatial variables, and mixed derivatives on spatial and time variables are given. Expressions through the density of the Lagrangian function for the density tensor of the wave momentum flux, the densities of the wave energy and wave momentum fluxes, the work of forces changing the system parameters, and the distributed recoil forces arising from wave propagation in an inhomogeneous system are found. The dispersion and energy characteristics of waves propagating in plates on an elastic base described by different models are compared. The conditions and frequency range of existence of so-called backward waves, in which phase and group velocities have opposite directions and essentially changing the character of energy flow behavior, are determined. The minimum phase velocities of waves in plates under consideration, when exceeded by a moving constant source in an elastic system, the Vavilov-Cherenkov radiation begins. Their dependence on the stiffness coefficients of the elastic base (often called bed coefficients) and physical and mechanical properties of the plate is established. For the mean values, relations linking the energy flux density and the wave momentum flux density tensor are given. It is found that for systems whose dynamic behavior is described by linear equations or nonlinear with respect to an unknown function, the ratio of the moduli of the mean values of the energy flux density to the wave momentum flux density is equal to the product of the moduli of the phase and group velocities of the waves.

About the authors

V. I. Erofeev

Institute of Problems of Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences - branch of FGBNU "FIC Institute of Applied Physics named after A.V. Gaponov-Grekhov of the Russian Academy of Sciences

Email: erof.vi@yandex.ru
Nizhny Novgorod, Russia

E. E. Lisenkova

Institute of Problems of Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences - branch of FGBNU "FIC Institute of Applied Physics named after A.V. Gaponov-Grekhov of the Russian Academy of Sciences

Email: eelissen@yandex.ru
Nizhny Novgorod, Russia

References

  1. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Современные проблемы математики / Математический институт им. В.А. Стеклова РАН (МИАН). М.: МИАН, 2007. Вып. 7: Классические и неклассические разрывы и их структуры в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией. 150 с.
  2. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Московский Лицей, 1998. 412 с.
  3. Куликовский А.Г., Лозовский А.В., Пащенко Н.Т. О развитии возмущений на слабонеоднородном фоне // Прикладн. матем. и механ. 2007. Т. 71.№5. С. 761–774.
  4. Куликовский А.Г., Пащенко Н.Т. Влияние малой неоднородности фона на асимптотические свойства линейных возмущений // Прикладн. матем. и механ. 2010. Т. 74.№2. С. 179–190.
  5. Куликовский А.Г. О развитии возмущений на стационарном слабонеоднородном фоне. Комплексные уравнения Гамильтона // Прикладн. матем. и механ. 2017. Т. 81.№1. С. 3–17.
  6. Вибрации в технике. Т. 1. Колебания линейных систем / Под. ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1999. 504 с.
  7. Fryba L. Vibration of solids and structures under moving loads. 3rd ed. London: Thomas Telford, 1999. 494 p.
  8. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. М.: Физматлит, 2001. 320 с.
  9. Копьев В.Ф., Чернышев С.А. Об использовании методов лагранжевой механики для анализа баланса энергии в вихревых течениях сжимаемого газа // Акуст. журн. 2021. Т. 67.№1. С. 98–106.
  10. Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е. Общие соотношения для волн в одномерных упругих системах // Прикладн. матем. и механ. 2013. Т.77. Вып. 2. С. 315–321.
  11. Tolstoy I., Usdin E. Wave propagation in elastic plates: low and high mode dispersion // J. Acoust. Soc. Am. 1957. V. 29. №. 1. P. 37–42.
  12. Григорянц Н.М. Свободные колебания тонких плит с учетом инерции вращения // Строит. механ. и расчет сооруж. 1961.№3. С. 36–37.
  13. Морозов Н.Ф. О нелинейных колебаниях тонких пластин с учетом инерции вращения // Докл. АН СССР. 1967. Т. 176.№3. С. 522–525.
  14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988. 512 с.
  15. Миронов М.А. Распространение изгибной волны в пластине, толщина которой плавно уменьшается до нуля на конечном интервале // Акуст. журн. 1988. Т. 34. С. 546–547.
  16. Krylov V.V. Overview of localised flexural waves in wedges of power law profile and comments on their relationship with the acoustic black hole effect // J. Sound and Vibration. 2020. V. 468. P. 115100–12. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2019.115100
  17. Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е., Царев И.С. Динамическое поведение балки, лежащей на обобщенном упругом основании, с движущейся нагрузкой // Прикладн. матем. и механ. 2021. Т. 85.№2. С. 193–209. https://doi.org/10.31857/S0032823521020041.
  18. Большаков А.А. Прямоугольная пластина на двухпараметрическом упругом основании: аналитическое решение // Вестник Сам.ГУ. Естественнонаучная серия. 2011. 8(89). С. 128–133.
  19. Высоковский Д.А., Русакова Е.Б. Устойчивость плиты Э. Рейсснера на упругом невинклировом основании // Инженерный вестник Дона. 2017.№2 (45). 10 с. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2017/4250.
  20. Козел А.Г., Старовойтов Э.И. Изгиб упругой трехслойной круговой пластины на основании Пастернака // Механика композиционных материалов и конструкций. 2018. Т. 24.№3. С. 392–406. https://doi.org/10.33113/mkmk.ras.2018.24.03.392_406.06
  21. Feng Q., Fu Sh., Wang Ch., Liu W.W. Analitical solution for fracture problem of stope roof based on Pasternak foundation model // Soil Mechanics and Foundation Engineering. 2019. V. 56.№2. P. 142–150.
  22. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.
  23. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.
  24. Meitzler А.Н. Backward-wave transmission of stress pulses in elastic cylinders and plates // J. Acoust. Soc. Am. 1965. V. 38.№5. P. 835–842.
  25. Бурлий П.В., Ильин П.П., Кучеров И.Я. Обратные поперечные акустические волны в пластинах кубических кристаллов // Акуст. журн. 1997. Т. 43.№3. С. 310–314.
  26. Шевченко В.В. Прямые и обратные волны: три определения, их взаимосвязь и условия применимости // Успехи физических наук. 2007. Т. 177.№3. С. 301–306. https://doi.org/10.3367/UFNr.0177.200703c.0301
  27. Коузов Д.П., Миролюбова Н.А. Локальные потоки энергии вынужденных колебаний тонкой упругой полосы // Вычисл. механика сплошных сред. 2012. Т. 5.№4. С. 397–404. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2012.5.4.47
  28. Ляпунов В.Т., Никифоров А.С. Виброизоляция в судовых конструкциях. Л.: Судостроение, 1975. 232 с.
  29. Руденко О.В., Гусев В.А. Движущийся объект: спектры сигналов пассивной, активной локации и переходное излучение // Акуст. журн. 2020. Т. 66.№6. С. 599–609. https://doi.org/10.31857/S032079192006009X
  30. Гинзбург В.Л. Излучение равномерно движущихся источников (эффект Вавилова–Черенкова, переходное излучение и некоторые другие явления) // Акуст. журн. 2005. Т. 51.№1. С. 24–36.
  31. Veshev V.A., Kouzov D.P., Mirolybova N.A. On opposite directions of the energy’s flux of normal wave propagation in thin-wall waveguide // Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем: Тр. XXIV летней школы-семинара. Санкт-Петербург: Изд-во ИПМаш РАН. 1997. С. 71–78.
  32. Вешев В.А., Коузов Д.П., Миролюбова Н.А. Потоки энергии и дисперсия нормальных волн изгибного типа в балке крестообразного профиля // Акуст. журн. 1999. Т. 45.№3. С. 331–336.
  33. Каудерер Г. Нелинейная механика /Пер. с нем. Я.Г. Пановко. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 777 с.
  34. Березовский А.А., Жерновой Ю.В. Изгибные стационарные волны в стержнях при нелинейном законе упругости // Украинский матем. журн. 1981. Т. 33.№4. С. 493–498.
  35. Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves. New York: John Wiley and Sons, 1974. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.
  36. Весницкий А.И., Милосердова И.В. Волновые методы борьбы с вибрациями // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1998.№3. С. 16–25.
  37. Весницкий А.И. Избранные труды по механике. Нижний Новгород: Изд-во “Наш дом”. 2010. 248 с.
  38. Миронов М.А. Разрезной стержень как вибрационная черная дыра // Акуст. журн. 2019. Т. 65. № 6. С. 736–739.
  39. Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е., Монич Д.В. Распределенный поглотитель изгибных колебаний балки // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2022.№3. С. 141–146.
  40. Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е., Монич Д.В. Взаимодействие изгибных волн, распространяющихся в неоднородной пластине, с препятствием, представляющим собой стержень, лежащий на вязкоупругом основании // Проблемы прочности и пластичности. 2022. Т. 84.№4. С. 511–522.
  41. Prada C., Clorennec D., Royer D. Local vibration of an elastic plate and zero-group velocity Lamb modes // J. Acoust. Soc. Am. 2008. V.124. P. 203–212.
  42. Tofeldt O., Ryden N. Zero-group velocity modes in plates with continuous material variation through the thickness // J. Acoust. Soc. Am. 2017. V. 141. P. 3302–3311. https://doi.org/10.1121/1.4983296
  43. Laurent J., Royer D., Prada C. In-plane backward and zero group velocity guided modes in rigid and soft strips // J. Acoust. Soc. Am. 2020. V. 147.№2. P. 1302. https://doi.org/10.1121/10.0000760
  44. Glushkov E.V., Glushkova N.V. Multiple zero-group velocity resonances in elastic layered structures // J. of Sound and Vibration. 2021. V. 500. P. 116023. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2021.116023
  45. Kiefer D.A., Plestenjak B., Gravenkamp H., Prada C. Computing zero-group-velocity points in anisotropic elastic waveguides: Globally and locally convergent methods // J. Acoust. Soc. Am. 2023. V. 153.№2. P. 1386–1398. https://doi.org/10.1121/10.0017252
  46. Yantchev V., Arapan L., Katardjiev I., Plessky V. Thin-film zero-group velocity Lamb wave resonator // Appl. Phys. Lett. 2011. V. 99. P. 033505.
  47. Caliendo C., Hamidullah M. Zero-group-velocity acoustic waveguides for high-frequency resonators // J. of Phys. D: Appl. Phys. 2017. V. 50. P. 474002.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences