ОБОБЩЕНИЯ СТАДИЙНОГО ПОРЯДКА МЕТОДОВ РУНГЕ–КУТТЫ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Рассматривается применение методов Рунге–Кутты для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений . При решении таких задач часто проявляется эффект снижения порядка, когда при заданной точности реальный порядок метода оказывается ниже классического порядка, что неизбежно приводит к повышению вычислительных затрат. Чтобы избежать снижения порядка, метод должен иметь достаточно высокий стадийный порядок. Однако методы, обеспечивающие наиболее удобную и эффективную реализацию, имеют низкий стадийный порядок. Поэтому актуальна задача построения методов, которые при низком стадийном порядке обладают свойствами методов более высокого стадийного порядка. Настоящая статья посвящена построению методов такого типа. Рассматриваются однократно диагонально-неявные, явные и обратные к явным методы. Приведены результаты решения тестовых задач. Библ. 44. Фиг. 3. Табл. 4.

Об авторах

Л. М. Скворцов

ООО “3В Сервис”

Email: lm.skvo@gmail.com
Москва, Россия

Список литературы

  1. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.
  2. Скворцов Л.М. Численное решение обыкновенных дифференциальных и дифференциальноалгебраических уравнений. М.: ДМК Пресс, 2022.
  3. Prothero A., Robinson A. On the stability and accuracy of one-step methods for solving stiff systems of ordinary differential equations // Math. Comput. 1974. V. 28. № 125. P. 145–162.
  4. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге–Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988.
  5. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциальноалгебраические задачи. М.: Мир, 1999.
  6. Butcher J.C. Numerical methods for ordinary differential equations. Chichester: John Wiley and Sons, 2008.
  7. Скворцов Л.М. Диагонально неявные FSAL-методы Рунге–Кутты для жестких и дифференциальноалгебраических систем // Матем. моделирование. 2002. Т. 14. № 2. С. 3–17.
  8. Скворцов Л. М. Точность методов Рунге Кутты при решении жестких задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 9. С. 1374–1384.
  9. Скворцов Л.М. Явные методы Рунге–Кутты для умеренно жестких задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 11. 2017–2030.
  10. Скворцов Л.М. Диагонально неявные методы Рунге–Кутты для жестких задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 12. С. 2209–2222.
  11. Скворцов Л.М. Модельные уравнения для исследования точности методов Рунге–Кутты // Матем. моделирование. 2010. Т. 22. № 5. С. 146–160.
  12. Скворцов Л.М. Явные стабилизированные методы Рунге–Кутты // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 7. С. 1236–1250.
  13. Скворцов Л.М. Явные адаптивные методы Рунге–Кутты для жестких и колебательных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 8. С. 1434–1448.
  14. Скворцов Л.М. О неявных методах Рунге–Кутты, полученных в результате обращения явных методов // Матем. моделирование. 2017. Т. 29. № 1. С. 3–19.
  15. Скворцов Л.М. Как избежать снижения точности и порядка методов Рунге–Кутты при решении жестких задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. Т. 57. № 7. С. 1126–1141.
  16. Скворцов Л.М. Неявные методы Рунге–Кутты с явными внутренними стадиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 3.
  17. Rang J. An analysis of the Prothero–Robinson example for constructing new DIRK and ROW methods // J. Comput. Appl. Math. 2014. V. 262. P. 105–114.
  18. Rang J. An analysis of the Prothero–Robinson example for constructing new adaptive ESDIRK methods of order 3 and 4 // Appl. Numer. Math. 2015. V. 94. P. 75–87.
  19. Rang J. The Prothero and Robinson example: Convergence studies for Runge–Kutta and Rosenbrock–Wanner methods // Appl. Numer. Math. 2016. V. 108. P. 37–56.
  20. Ketcheson D.I., Seibold B., Shirokoff D., Zhou D. DIRK schemes with high weak stage order // Lecture Notes in Comput. Science and Engng. V. 134. Spectral and High Order Methods for Partial Differential Equations. Springer, 2020. P. 453–463.
  21. Biswas A., Ketcheson D.I., Seibold B., Shirokoff D. Design of DIRK schemes with high weak stage order // Commun. Appl. Math. Comput. Sci. 2023. V. 18. P. 1–28.
  22. Biswas A., Ketcheson D.I., Seibold B., Shirokoff D. Algebraic structure of the weak stage order conditions for Runge–Kutta methods. // SIAM J. Numer. Anal. 2024. V. 62. № 1. P. 48–72.
  23. Biswas A., Ketcheson D.I., Roberts S., Seibold B., Shirokoff D. Explicit Runge–Kutta methods that alleviate order reduction. https://arxiv.org/abs/2310.02817.
  24. Rosales R.R., Seibold B., Shirokoff D., Zhou D. Spatial manifestations of order reductions in Runge–Kutta methods for initial boundary value problems // Commun. Math. Sci. 2024. V. 22. № 3. P. 613–653.
  25. Hairer E., Lubich Ch., Roche M. The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge–Kutta methods. Berlin: SpringerVerlag, 1989.
  26. Jay L. Convergence of Runge-Kutta methods for differential-algebraic systems of index 3 // Appl. Numer. Math. 1995. V. 17. № 2. P. 97–118.
  27. Jay L. Convergence of a class of Runge-Kutta methods for differential-algebraic systems of index 2 // BIT. 1993. V. 33. № 1. P. 137–150.
  28. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998.
  29. Скворцов Л.М. Диагонально-неявные методы Рунге–Кутты для дифференциально-алгебраических уравнений индексов 2 и 3 // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 6. С. 1047–1059.
  30. Hosea M.E., Shampine L.F. Analysis and implementation of TR-BDF2 // Appl. Numer. Math. 1996. V. 20. № 1–2. P. 21–37.
  31. Cameron F., Palmroth M., Piche R. Quasi stage order conditions for SDIRK methods // Appl. Numer. Math. 2002. V. 42. № 1–3. P. 61–75.
  32. Лебедев В.И. Как решать явными методами жесткие системы дифференциальных уравнений // Вычисл. процессы и системы. М.: Наука, 1991. Вып. 8. C. 237–291.
  33. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука, 1997.
  34. Калиткин Н.Н., Пошивайло И.П. Вычисления с использованием обратных схем Рунге–Кутты // Матем. моделирование. 2013. Т. 25. № 10. С. 79–96.
  35. Кочетков К.А., Ширков П.Д. L-затухающие ROW-методы третьего порядка точности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. № 6. С. 699–710.
  36. Cash J.R., Singhal A. Mono-implicit Runge–Kutta formulae for the numerical integration of stiff differential systems // IMA J. Numer. Anal. 1982. V. 2. P. 211–227.
  37. Kulikov G.Yu., Shindin S.K. Adaptive nested implicit Runge–Kutta formulas of Gauss type // Appl. Numer. Math. 2009. V. 59. № 3–4. P. 707–722.
  38. Куликов Г.Ю. Вложенные симметричные неявные гнездовые методы Рунге–Кутты типов Гаусса и Лобатто для решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений и гамильтоновых систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 6. С. 986–1007.
  39. Alexander R. Diagonally implicit Runge-Kutta methods for stiff O.D.E.’s // SIAM J. Numer. Anal. 1977. V. 14. № 6. P. 1006–1021.
  40. Ralston A. Runge–Kutta methods with minimal error bounds // Math. Comput. 1962. V. 16. P. 431–437.
  41. Bogacki P., Shampine L.F. A 3(2) pair of Runge–Kutta formulas // Appl. Math. Lett. 1989. V. 2. № 4. P. 321–325.
  42. Булатов М.В., Соловарова Л.С. О потере L-устойчивости неявного метода Эйлера для одной линейной задачи // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2015. Т. 12. С. 3–11.
  43. Скворцов Л.М. Методы ESDIRK третьего и четвертого порядков для жестких и дифференциальноалгебраических задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 5. С. 790–808.
  44. Зубанов А.М., Кутрухин Н.Н., Ширков П.Д. О построении линейно неявных схем, LN-эквивалентных неявным методам Рунге–Кутты // Компьютерные исследования и моделирование. 2012. Т. 4.№ 3. С. 483–496.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2024